นายจิระศักดิ์ เส็งนา

รหัสนักศึกษา 53814001055

สาขาวิชา คณิตศาสตร์ ปี 2 ห้อง 1

เรื่องที่ 1. เซตจำกัด เซตอนันต์ เซตที่เท่ากัน เซตว่าง และเอกภพสัมพัทธ์

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

• การเขียนเซต
	การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
	1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}
			B = { a, e, i, o, u}
			C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
	2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
		ตัวอย่างเช่น		A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
				B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
				C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

	สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้
	I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ	Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
	I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก	Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
	I แทนเซตของจำนวนเต็ม	Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
	N แทนเซตของจำนวนนับ	R แทนเซตของจำนวนจริง

• เซตจำกัด
	บทนิยาม	เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}	มีสมาชิก 5 สมาชิก
			B = { a, e, i, o, u}	มีสมาชิก 5 สมาชิก

• เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

• เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่่น		A = {1, 2, 3, 4, 5}
		B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
	∴	A = B

• เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่่น	A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}	∴ A = Ø
	B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }	∴ ฺB = Ø
เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

• เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่างเช่่น		ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
		U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
		U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

เรื่องที่ 2. สับเซต และเพาเวอรืเซต

• สับเซต

บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B

ตัวอย่างที่ 1		A = {1, 2, 3}
		B = { 1, 2, 3, 4, 5}
	∴	A ⊂ B

ตัวอย่างที่ 2		C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...}
		D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}
	∴	C D

ตัวอย่างที่ 3		E = { 0,1,2 }
		F = { 2,1,0 }
	∴	E ⊂ F และ F ⊂ E

จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F

สับเซตแท้	เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จำนวนสับเซต	ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต

• เพาเวอร์เซต

บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)

ตัวอย่างที่ 1		A = Ø
		สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
	∴	P(A) = {Ø }

ตัวอย่างที่ 2		B = {1}
		สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
	∴	P(B) = {Ø, {1} }

ตัวอย่างที่ 3		C = {1,2}
		สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}
	∴	P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

เรื่องที่ 3.การเขียนแผนภาพแทนเซต ยูเนีย อินเตอร์เซกชัน คอมพิเมนต์และผลต่าง

• การเขียนแผนภาพแทนเซต
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)

• ยูเนียน (Union)
บทนิยาม		เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A ∪ B = {1,2,3,4,5}

• อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
บทนิยาม		เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A ∩ B = {3}

• คอมพลีเมนต์ (Complements)
บทนิยาม		ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A'
ตัวอย่างเช่น		U = {1,2,3,4,5}
		A ={1,2,3}
	∴	A' = {4,5}

• ผลต่าง (Difference)
บทนิยาม		ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A - B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A - B = {1,2}

เรื่องที่ 4. จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

• ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A)
• ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
	n(A ∪ B)	= n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
	n(A - B)	= n(A) - n(A ∩ B)
	n(B - A)	= n(B) - n(A ∩ B)

• ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
	n(A ∪ B ∪ C )	= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)

เรื่องที่ 5. ประพจน์

บทนิยาม	ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
		ตัวอย่างเช่น
		• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้	→ เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ
		• ใครทำจานแตก	→ ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
		• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก	→ เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์

เรื่องที่ 6. ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

	กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ
	เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้
	1.	ตัวเชื่อมประพจน์ "และ"
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
	2.	ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ"
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
	3.	ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว"
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
	4.	ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ"
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
	5.	นิเสธของประพจน์
		นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p
		ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
		p q p ∧ q p ∨q p → q p ⇔ q ~p ~q T T F F T F T F T F F F T T T F T F T T T F F T F F T T F T F T

เรื่องที่ 7. พจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

	ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้
	p ∧ q	สมมูลกับ	q ∧ p
	p ∨ q	สมมูลกับ	q ∨ p
	(p ∧ q) ∧ r	สมมูลกับ	p ∧ (q ∧ r)
	(p ∨ q) ∨ r	สมมูลกับ	p ∨ (q ∨ r)
	p ∧ (q ∨ r)	สมมูลกับ	(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
	p ∨ (q ∧ r)	สมมูลกับ	(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
	p → q	สมมูลกับ	~p ∨ q
	p → q	สมมูลกับ	~q → ~p
	p ⇔ q	สมมูลกับ	(p → q) ∧ (q → p)
	ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้
	~(p ∧ q)	สมมูลกับ	~p ∨ ~q
	~(p ∨ q)	สมมูลกับ	~p ∧ ~q
	~(p → q)	สมมูลกับ	p ∧ ~q
	~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
	~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)
	พิสูจน์
	จะเห็นว่า p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
	~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q

เรื่องที่ 8. สัจนิรันดร์

	ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้
	p ∨ ~q	[ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q
	~(p ∧ ~q)	[ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p
	(p ∧ q) → p	(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
	(p ∧ q) → q	(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
	p → (p ∨ q)	(p → q) ⇔ (~p ∨ q)
	q → (p ∨ q)	(p → q) ⇔ (~q → ~p)
	[ p ∧ ( p → q)] → q	(~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p)
	[ ~p ∧ ( p → q)] → ~q	( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)]
ข้อสังเกต	ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์
	พิสูจน์

เรื่องที่ 9. ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิด
บทนิยาม ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปรทำให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์
เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P(x,y) หรือ Q(x,y)
	ตัวอย่างเช่น
	• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”
	• x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”
ตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ
	1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”
	ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
	2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์
	ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
	1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
	2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
	3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
	4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
	~∀x[P(x)]	สมมูลกับ	∃x[~P(x)]
	~∃x[P(x)]	สมมูลกับ	∀x[~P(x)]
	~∀x[~P(x)]	สมมูลกับ	∃x[P(x)]
	~∃x[~P(x)]	สมมูลกับ	∀x[P(x)]
	ตัวอย่างเช่น
	• ∀x[x < 0] เมื่อ u = เซตของจำนวนเต็ม
	มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ จะทำให้ x < 0 เป็นเท็จ
	• ∃x[x < 0]เมื่อ u = เซตของจำนวนเต็ม
	มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มลบ จะทำให้ x < 0 เป็นจริง

เรื่องที่ 10. การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้"
	การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ
	1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้
	2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา
สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล
	ตัวอย่างเช่น	เหตุ	1. p → q
			2. p
		ผล	q

เรื่องที่ 11. คู่อันดับ และผลคูณคาร์ทีเชียน

• คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้
	สมบัติของคู่อันดับ
		1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
		2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
		3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

• ผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B
	นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B }
	สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน
	กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว
	1.	A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
		A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
		A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø
	2.	A × Ø = Ø × A = Ø
	3.	A × ( B ∪ C )	= (A× B) ∪(A × C)
		(A ∪ B) × C	= (A× C) ∪(B × C)
	4.	A × ( B ∩ C )	= (A× B) ∩ (A × C)
		(A ∩ B) × C	= (A× B) ∩ (B × C)
	5.	A × ( B - C )	= (A× B) - (A × C)
		(A - B) × C )	= (A× C) - (B × C)
	6.	ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C
	7.	ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)
	8.	ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์

เรื่องที่ 12. กราฟของความสัมพันธ์

ใน ระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้
บทนิยาม	ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R

ตัวอย่างที่ 1	จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
	r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้
	A = {1, 2, 3, 4}
วิธีทำ	r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
---------------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2	จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
	r = { (x,y) ∈ R × R | y = x - 1}
วิธีทำ
---------------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3	จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
วิธีทำ	r = { (x,y) ∈ R × R | -1 < y ≤ 2 }
---------------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4	จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
วิธีทำ	r = { (x,y) ∈ I × I | x + y < 1 }
---------------------------------------------------------------------------

เรื่องที่ 13. อิน เวอร์สของความสัมพันธ์

อิน เวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1
การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้
	วิธีที่ 1	สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม
		ตัวอย่างเช่น	r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1}
		∴	r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1}
	วิธีที่ 2	สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม
		ตัวอย่างเช่น	r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1}
			r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1}
		∴	r-1 = {(x, y) ∈ R × R | }
สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์
	ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B
	1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต  B ไปเซต A
	2. D r = R r-1 และ R r = D r-1
กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์
	เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้
	วิธีที่ 1
	1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1
	2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1
		ตัวอย่างเช่น	r = {(x, y) ∈ R × R | y =  | x | + 2}
		∴	r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x =  | y | + 2}
	วิธีที่ 2
	1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r
	2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y

เรื่องที่ 14. ฟังก์ชันคอมโพสิท

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg

ตัวอย่าง 1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ
		f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ
		g = {(4,7), (5,7), (6,8)}
	(gof)(1)	= g(f(1))	= g(5)	= 7
	(gof)(2)	= g(f(2))	= g(4)	= 7
	(gof)(3)	= g(f(3))	= g(6)	= 8
	∴ gof	= {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A
ข้อสังเกต	จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø

เรื่องที่ 15. พีชคณิตของฟังก์ชัน

กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง f + g = { (x, y) | y = f(x) + g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg } f - g = { (x, y) | y = f(x) - g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg } f · g = { (x, y) | y = f(x) · g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg } = { (x, y) | y = และ x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 }

จากบทนิยามจะได้	f + g (x)		= f(x) + g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
	f - g (x)		= f(x) - g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
	f · g (x)		= f(x) · g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
		(x)	=		ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0

เรื่องที่ 16. เรขาคณิตวิเคราะห์

ในการศึกษาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะทำการศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจุด และเส้นตรงโดยอ้างอิงกับระบบพิกัดฉากเป็นหลัก

ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วย แกนพิกัดฉาก 2 แกน ได้แก่ เส้นจำนวนที่อยู่บนแกนนอน (แกน x) และเส้นจำนวนที่อยู่บนแกนตั้ง (แกน y) แกนพิกัดฉากทั้งสองนี้จะแบ่งพื้นระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกพื้นที่ที่ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ นี้ว่า "ควอดรันต์" (Quadrant) ซึ่งมีลักษณะดังรูป

แกน x และ แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด 0 เรียกจุดนี้ว่า "จุดกำเนิด" (origin) และเขียนแทนตำแหน่งของจุดบนระบบพิกัดฉากด้วย (x, y) เมื่อ x เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน x และ y เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน y