นายจิระศักดิ์ เส็งนา
รหัสนักศึกษา 53814001055
สาขาวิชา คณิตศาสตร์ ปี 2 ห้อง 1
เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของหรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียกสมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"
• การเขียนเซต การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต ตัวอย่างเช่น A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้ I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก I แทนเซตของจำนวนเต็ม Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ N แทนเซตของจำนวนนับ R แทนเซตของจำนวนจริง
• เซตจำกัด บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้ ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก
• เซตอนันต์
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
• เซตที่เท่ากัน
เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B
ตัวอย่างเช่่น A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} ∴ A = B
• เซตว่าง
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø
ตัวอย่างเช่่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด
• เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u
ตัวอย่างเช่่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม U = {...,-2,-1,0,1,2,...} U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}
• สับเซต |
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B |
ตัวอย่างที่ 1 | A = {1, 2, 3} | |
B = { 1, 2, 3, 4, 5} | ||
∴ | A ⊂ B |
ตัวอย่างที่ 2 | C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...} | |
D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...} | ||
∴ | C D |
ตัวอย่างที่ 3 | E = { 0,1,2 } | |
F = { 2,1,0 } | ||
∴ | E ⊂ F และ F ⊂ E |
จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F |
สับเซตแท้ | เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B |
จำนวนสับเซต | ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต |
• เพาเวอร์เซต |
บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A) |
ตัวอย่างที่ 1 | A = Ø | |
สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø | ||
∴ | P(A) = {Ø } |
ตัวอย่างที่ 2 | B = {1} | |
สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1} | ||
∴ | P(B) = {Ø, {1} } |
ตัวอย่างที่ 3 | C = {1,2} | |
สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2} | ||
∴ | P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} } |
• การเขียนแผนภาพแทนเซต | |||||
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้ | |||||
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram) | |||||
• ยูเนียน (Union) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} | ||||||
B= {3,4,5} | |||||||
∴ | A ∪ B = {1,2,3,4,5} | ||||||
• อินเตอร์เซกชัน (Intersection) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} | ||||||
B= {3,4,5} | |||||||
∴ | A ∩ B = {3} | ||||||
• คอมพลีเมนต์ (Complements) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | U = {1,2,3,4,5} | ||||||
A ={1,2,3} | |||||||
∴ | A' = {4,5} | ||||||
• ผลต่าง (Difference) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} | ||||||
B= {3,4,5} | |||||||
∴ | A - B = {1,2} | ||||||
• ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A) | ||
• ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว | ||
n(A ∪ B) | = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) | |
n(A - B) | = n(A) - n(A ∩ B) | |
n(B - A) | = n(B) - n(A ∩ B) |
• ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว | ||
n(A ∪ B ∪ C ) | = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C) |
บทนิยาม | ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง | ||
ตัวอย่างเช่น | |||
• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้ | → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ | ||
• ใครทำจานแตก | → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ | ||
• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก | → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง | ||
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ |
กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. | ตัวเชื่อมประพจน์ "และ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | นิเสธของประพจน์ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ประพจน์ที่สมมูลกัน | |||
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย | |||
ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ | |||
p ∧ q | สมมูลกับ | q ∧ p | |
p ∨ q | สมมูลกับ | q ∨ p | |
(p ∧ q) ∧ r | สมมูลกับ | p ∧ (q ∧ r) | |
(p ∨ q) ∨ r | สมมูลกับ | p ∨ (q ∨ r) | |
p ∧ (q ∨ r) | สมมูลกับ | (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) | |
p ∨ (q ∧ r) | สมมูลกับ | (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) | |
p → q | สมมูลกับ | ~p ∨ q | |
p → q | สมมูลกับ | ~q → ~p | |
p ⇔ q | สมมูลกับ | (p → q) ∧ (q → p) | |
ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน | |||
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย | |||
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ | |||
~(p ∧ q) | สมมูลกับ | ~p ∨ ~q | |
~(p ∨ q) | สมมูลกับ | ~p ∧ ~q | |
~(p → q) | สมมูลกับ | p ∧ ~q | |
~(p ⇔ q) | สมมูลกับ | (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p) | |
~(p ⇔ q) | สมมูลกับ | (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p) | |
พิสูจน์ | |||
จะเห็นว่า p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p | |||
~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q |
ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย | ||
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้ | ||
p ∨ ~q | [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q | |
~(p ∧ ~q) | [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p | |
(p ∧ q) → p | (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) | |
(p ∧ q) → q | (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) | |
p → (p ∨ q) | (p → q) ⇔ (~p ∨ q) | |
q → (p ∨ q) | (p → q) ⇔ (~q → ~p) | |
[ p ∧ ( p → q)] → q | (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p) | |
[ ~p ∧ ( p → q)] → ~q | ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)] | |
ข้อสังเกต | ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์ | |
พิสูจน์ | ||
ประโยคเปิด | |||||
| |||||
เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P(x,y) หรือ Q(x,y) | |||||
ตัวอย่างเช่น | |||||
• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา” | |||||
• x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x” | |||||
ตัวบ่งปริมาณ | |||||
ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ | |||||
1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์” | |||||
ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว” | |||||
2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ | |||||
ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว” | |||||
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ | |||||
1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง | |||||
2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ | |||||
3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง | |||||
4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง | |||||
นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ | |||||
~∀x[P(x)] | สมมูลกับ | ∃x[~P(x)] | |||
~∃x[P(x)] | สมมูลกับ | ∀x[~P(x)] | |||
~∀x[~P(x)] | สมมูลกับ | ∃x[P(x)] | |||
~∃x[~P(x)] | สมมูลกับ | ∀x[P(x)] | |||
ตัวอย่างเช่น | |||||
• ∀x[x < 0] เมื่อ u = เซตของจำนวนเต็ม | |||||
มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ จะทำให้ x < 0 เป็นเท็จ | |||||
• ∃x[x < 0]เมื่อ u = เซตของจำนวนเต็ม | |||||
มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มลบ จะทำให้ x < 0 เป็นจริง |
การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้" | |||
การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ | |||
1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้ | |||
2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา | |||
สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล | |||
ตัวอย่างเช่น | เหตุ | 1. p → q | |
2. p | |||
ผล | q | ||
• คู่อันดับ | |||||
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้ | |||||
สมบัติของคู่อันดับ | |||||
1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b | |||||
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d | |||||
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d | |||||
• ผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B | |||||
นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } | |||||
สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว | |||||
1. | A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A | ||||
A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø | |||||
A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø | |||||
2. | A × Ø = Ø × A = Ø | ||||
3. | A × ( B ∪ C ) | = (A× B) ∪(A × C) | |||
(A ∪ B) × C | = (A× C) ∪(B × C) | ||||
4. | A × ( B ∩ C ) | = (A× B) ∩ (A × C) | |||
(A ∩ B) × C | = (A× B) ∩ (B × C) | ||||
5. | A × ( B - C ) | = (A× B) - (A × C) | |||
(A - B) × C ) | = (A× C) - (B × C) | ||||
6. | ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C | ||||
7. | ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B) | ||||
8. | ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์ |
ใน ระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ | ||
บทนิยาม |
|
ตัวอย่างที่ 1 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้ | |
A = {1, 2, 3, 4} | |
วิธีทำ | r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} |
--------------------------------------------------------------------------- | |
ตัวอย่างที่ 2 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
r = { (x,y) ∈ R × R | y = x - 1} | |
วิธีทำ | |
--------------------------------------------------------------------------- | |
ตัวอย่างที่ 3 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ R × R | -1 < y ≤ 2 } |
--------------------------------------------------------------------------- | |
ตัวอย่างที่ 4 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ I × I | x + y < 1 } |
--------------------------------------------------------------------------- |
อิน เวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1 | |||||||||
การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้ | |||||||||
วิธีที่ 1 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม | ||||||||
ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
วิธีที่ 2 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม | ||||||||
ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1} | |||||||||
|
| ||||||||
สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์ | |||||||||
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B | |||||||||
1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A | |||||||||
2. D r = R r-1 และ R r = D r-1 | |||||||||
กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ | |||||||||
เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้ | |||||||||
วิธีที่ 1 | |||||||||
1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1 | |||||||||
2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1 | |||||||||
ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = | x | + 2} | ||||||||
| r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = | y | + 2} | ||||||||
วิธีที่ 2 | |||||||||
1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r | |||||||||
2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y | |||||||||
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg |
ตัวอย่าง 1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ | |||||
f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ | |||||
g = {(4,7), (5,7), (6,8)} | |||||
(gof)(1) | = g(f(1)) | = g(5) | = 7 | ||
(gof)(2) | = g(f(2)) | = g(4) | = 7 | ||
(gof)(3) | = g(f(3)) | = g(6) | = 8 | ||
∴ gof | = {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A | ||||
ข้อสังเกต | จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø |
|
จากบทนิยามจะได้ | f + g (x) | = f(x) + g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg | |||
f - g (x) | = f(x) - g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg | ||||
f · g (x) | = f(x) · g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg | ||||
(x) | = | ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 |
ในการศึกษาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะทำการศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจุด และเส้นตรงโดยอ้างอิงกับระบบพิกัดฉากเป็นหลัก |
ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วย แกนพิกัดฉาก 2 แกน ได้แก่ เส้นจำนวนที่อยู่บนแกนนอน (แกน x) และเส้นจำนวนที่อยู่บนแกนตั้ง (แกน y) แกนพิกัดฉากทั้งสองนี้จะแบ่งพื้นระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกพื้นที่ที่ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ นี้ว่า "ควอดรันต์" (Quadrant) ซึ่งมีลักษณะดังรูป |
แกน x และ แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด 0 เรียกจุดนี้ว่า "จุดกำเนิด" (origin) และเขียนแทนตำแหน่งของจุดบนระบบพิกัดฉากด้วย (x, y) เมื่อ x เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน x และ y เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน y |