นายจิระศักดิ์ เส็งนา
รหัสนักศึกษา 53814001055
สาขาวิชา คณิตศาสตร์ ปี 2 ห้อง 1
เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของหรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียกสมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"
• การเขียนเซต การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต ตัวอย่างเช่น A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้ I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก I แทนเซตของจำนวนเต็ม Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ N แทนเซตของจำนวนนับ R แทนเซตของจำนวนจริง
• เซตจำกัด บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้ ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก
• เซตอนันต์
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
• เซตที่เท่ากัน
เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B
ตัวอย่างเช่่น A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} ∴ A = B
• เซตว่าง
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø
ตัวอย่างเช่่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด
• เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u
ตัวอย่างเช่่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม U = {...,-2,-1,0,1,2,...} U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}
• สับเซต |
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B |
ตัวอย่างที่ 1 | A = {1, 2, 3} | |
B = { 1, 2, 3, 4, 5} | ||
∴ | A ⊂ B |
ตัวอย่างที่ 2 | C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...} | |
D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...} | ||
∴ | C D |
ตัวอย่างที่ 3 | E = { 0,1,2 } | |
F = { 2,1,0 } | ||
∴ | E ⊂ F และ F ⊂ E |
จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F |
สับเซตแท้ | เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B |
จำนวนสับเซต | ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต |
• เพาเวอร์เซต |
บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A) |
ตัวอย่างที่ 1 | A = Ø | |
สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø | ||
∴ | P(A) = {Ø } |
ตัวอย่างที่ 2 | B = {1} | |
สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1} | ||
∴ | P(B) = {Ø, {1} } |
ตัวอย่างที่ 3 | C = {1,2} | |
สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2} | ||
∴ | P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} } |
• การเขียนแผนภาพแทนเซต | |||||
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้ | |||||
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram) | |||||
• ยูเนียน (Union) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} | ||||||
B= {3,4,5} | |||||||
∴ | A ∪ B = {1,2,3,4,5} | ||||||
• อินเตอร์เซกชัน (Intersection) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} | ||||||
B= {3,4,5} | |||||||
∴ | A ∩ B = {3} | ||||||
• คอมพลีเมนต์ (Complements) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | U = {1,2,3,4,5} | ||||||
A ={1,2,3} | |||||||
∴ | A' = {4,5} | ||||||
• ผลต่าง (Difference) | |||||||
บทนิยาม |
| ||||||
ตัวอย่างเช่น | A ={1,2,3} | ||||||
B= {3,4,5} | |||||||
∴ | A - B = {1,2} | ||||||
• ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A) | ||
• ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว | ||
n(A ∪ B) | = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) | |
n(A - B) | = n(A) - n(A ∩ B) | |
n(B - A) | = n(B) - n(A ∩ B) |
• ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว | ||
n(A ∪ B ∪ C ) | = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C) |
บทนิยาม | ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง | ||
ตัวอย่างเช่น | |||
• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้ | → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ | ||
• ใครทำจานแตก | → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ | ||
• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก | → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง | ||
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ |
กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. | ตัวเชื่อมประพจน์ "และ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. | ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. | ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. | ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. | นิเสธของประพจน์ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|